blog.1cco.com

誕生日のパラドックスというのがある。これは、
「ある集団の中に同じ誕生日同士の人がいる確率」
に関するパラドクスで、確率が50%を超える人数が想像以上に少なくて驚くというものである（論理的な矛盾ではない）。

で、これをグラフにしてみた。表現的な面白さとかは何もないのであしからず。

グラフをみると分かる（点にロールオーバーで具体的な数字が出る）けれど、23人で50%を超えている。サッカーの試合では、50%ほどの確率で選手同士に同じ誕生日のやつがいるということになる。たしかに意外な感じがする。

クラスメイト程度の人数（40人くらい）いると、もう90%近い確率で同じ誕生日同士のやつがいるという話になる。学生時代を思い出してみるがそんな事は思い当たらない。全員の誕生日を把握しているわけじゃないからだろうけれど、かなり違和感のある結果に感じる。

ただ、あくまで「ある人数集まると、その中の誰かと誰かが同じ誕生日だ」ということなので、「自分と同じ誕生日の人がいる」という確率ではないことに注意。自分と同じ誕生日の人がいるかどうかの確率は感覚的にも矛盾がなくて、50%を超えるのは自分を含めて254人程度集まらないといけないらしい。

ちなみに上のFlashで「試してみる」を押すと、30人いた場合をシミュレーションできる。30人いた場合は、70.6%ほどの確率で同じ誕生日の人がいるはずだ。ぜひ試してみよう。

確率は余事象という「あることが起こらない」というものの確率を求める方法で計算した。

2人いた場合に、2人の誕生日が異なる確率を計算するには、
365/365 * 364/365 = 0.997
で、99.7%となる（閏年や双子は考えない）。
これは「異なる」確率なので、2人の誕生日が同じになる確率を計算するには、
1 - 365/365 * 364/365 = 0.003
で、0.3%程度ということになる。うむ。

3人いた場合では、
1 - 365/365 * 364/365 * 363/365 = 0.008
で、0.8%。
4人の場合は、
1 - 365/365 * 364/365 * 363/365 * 362/365 = 0.016
で、1.6%。
5人の場合...6人の場合...と続いて、 n人の場合は、
1 - 365/365 x 364/365 x 363/365 x 362/365 ... (365-n-1)/365
となる（一般的な式で表すと、p=365!/365n(365-n)! となるらしい（「!」は階乗））。